算法及其时间复杂度和空间复杂度的习题

一、单项选择题

1.个算法应该是（）。

A.程序 B.问题求解步骤的描述 C.要满足五个基本特性 D. A和C

2.某算法的时间复杂度为O(n²)，表明该算法的（）。

A.问题规模是n² B.执行时间等于n²

C.执行时间与n²成正比 D.问题规模与n²成正比

3.以下算法的时间复杂度为（）。

void fun(int n) {
    int i=l;
    while(i<=n)
        i=i*2;
}

A. O(n) B. O(n²) C. O(nlog₂n) D. O(log₂n)

4.【2011年计算机联考真题】
设n是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是（）。

x=2;
while(x<n/2)
    x=2*x;

A. O(log₂n) B. O(n) C. O(nlog₂n) D. O(n²)

5.【2012年计算机联考真题】
求整数n (n>=0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是（）。

int fact(int n){
    if (n<=l) return 1;
    return n*fact(n-1);
}

A. O(log₂n) B. O(n) C. O(nlog₂n) D. O(n²)

6.有以下算法，其时间复杂度为（）。

void fun (int n){
    int i=0;
    while(i*i*i<=n)
        i++;
}

A. O(n) B. O(nlogn) C.

D.

7.程序段

for(i=n-l;i>l;i--)
   for(j=1;j<i;j++)
       if (A[j]>A[j+l])
           A[j]与 A[j+1]对换;

其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是（）。

A. O(n) B. O(nlogn) C. O(n³) D. O(n²)

8.以下算法中加下划线语句的执行次数为（）。

int m=0, i, j;
for(i=l;i<=n;i++)
   for(j=1;j<=2 * i;j++)
      m++;

A. n(n+1) B. n C. n+1 D. n²

9.下面说法错误的是（）。
Ⅰ.算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ.在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2ⁿ)的算法
Ⅲ.所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界
Ⅳ.同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低

A. Ⅰ B. Ⅰ、Ⅱ C. Ⅰ、Ⅳ D. Ⅲ

二、综合应用题

1.一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别（或阶)。

式中，n是问题的规模，为简单起见，设n是2的整数幂。

2.分析以下各程序段，求出算法的时间复杂度。

// 程序段①
i=l;k=0;
while(i<n-l){
    k=k+10*i;
    i++;
}

// 程序段②
y=0;
while((y+1)*(y+1)<=n)
    y=y+1;

// 程序段③
for(i=l;i<=n;i++)
    for(j =1;j <=i;j ++)
        for(k=l;k<=j;k++)
            x++;

// 程序段④
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i] [j]=0;

答案与解析

一、单项选择题

1.    B
程序不一定满足有穷性，如死循环、操作系统等，而算法必须有穷。算法代表了对问题求解步骤的描述，而程序则是算法在计算机上的特定的实现。

2.    C
时间复杂度为O(n²)，说明算法的执行时间T(n)<=c * n²(c为比例常数)，即T(n)=O(n²)，时间复杂度T(n)是问题规模n的函数，其问题规模仍然是n而不是n²。

3.    D
基本运算是i=i*2，设其执行时间为T(n)，则2^T(n)<=n，即T(n)<=log₂n=O(log₂n)。

4.    A
在程序中，执行频率最高的语句为“x=2*x”。设该语句共执行了 t次，则2^t+1=n/2，故t=log₂(n/2)-1=log₂n-2，得 T(n)=O(log₂n)。

5.    B
本题是求阶乘n!的递归代码，即n*(n-1)*...*1共执行n次乘法操作，故T(n)=O(n)。

6.    C
算法的基本运算是i++，设其执行时间为T(n)，则有，T(6)*T(n)*T(n)<=n，即T(n)³<=n。故有，

。

更加直观和快速的解题方法：要计算语句i++的执行次数（由于每执行一次i加1），其中判断条件可理解为i³=n，即

，因此有

。

7. D
当所有相邻元素都为逆序时，则最后一行的语句每次都会执行。此时，

所以在最坏情况下的该语句频度是O(n²)。

8. A
m++语句的执行次数为

9. A
Ⅰ，算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量。Ⅱ，题中是指算法的时间复杂度，不要想当然认为是程序（该算法的实现）的具体执行时间，而赋予n—个特殊的值。时间复杂度为O(n)的算法，必然总是优于时间复杂度为O(2ⁿ)的算法。Ⅲ，时间复杂度总是考虑在最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。Ⅳ为严蔚敏教材的原话。