C语言列出真分数序列

问题描述

按递增顺序依次列出所有分母为40，分子小于40的最简分数。

问题分析

分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数，如2/3，8/9，3/8等。

方法一：

求分子小于40的最简分数，对分子采用穷举的方法。根据最简分数定义知：分子分母的最大公约数为1，利用最大公约数的方法，判定分子与40是否构成真分数。

方法二：

分子、分母的公因数只有1的分数为最简分数，若分子、分母在1〜分子（num2）（题目要求分子小于40，分子、分母的公约数小于两者中的任意一个）之间除了1之外还有其他的公因数，则此分数肯定不是最简分数。

算法分析

变量num1、num2分别存储分母、分子的值。

方法一：

求最大公约数一般采用辗转相除的思想，具体步骤如下。

1. 用较大的数num1除以较小的数num2，得到的余数存储到变量temp中，temp=num1%num2。
2. 上一步中较小的除数num2和得出的余数temp构成新的一对数，并分别赋值给num1和num2，继续做上面的除法。
3. 当num2为0时，num1就是最大公约数，否则重复步骤 1、2。

方法二 ：

分数的分子仍然采用穷举法。对于每一个可能的分子，都要判断在1〜num2范围内，分数num1/num2除了1之外是否有其他的公因数，循环初值为2。

在2〜num2内若有一个数j能同时整除分子、分母，说明此分数不是最简分数，j〜num2之间的数也无须再判断，利用break语句结束循环。循环结束时j<num2。循环过程中若没有一个数可以同时整除分子、分母即条件if(num1%j==0 && num2%j==0)不成立，则break语句不执行，循环正常结朿，即条件j<=num2不成立，循环结束时j>num2。利用j与num2的大小关系可判断分数是否为最简分数。

下面是方法一的完整程序：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int i, num1, num2, temp, n=0;  /*n记录最简分数的个数*/
    printf("The fraction serials with demominator 40 is:\n");
    for(i=1; i<40; i++)  /*穷举40以内的全部分子*/
    {
        num1 = 40;
        num2 = i;
        /*采用辗转相除法求出最大公约数*/
        while(num2 != 0)
        {
            temp = num1 % num2;
            num1 = num2;
            num2 = temp;
        }
        if(num1 == 1)  /*若最大公约数为1，则为最简真分数*/
        {
            n++;
            printf("%2d/40  ", i);
            if(n%8 == 0)  /*每行输出8个数*/
                printf("\n");
        }
    }
   
    return 0;
}

下面是方法二的完整代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int i, num1, num2, j, n=0;  /*记录最简分数的个数*/
    printf("The fraction serials with demominator 40 is:\n");
    for(i=1; i<40;i++)  /*穷举40以内的全部分子*/
    {
        num1 = 40;
        num2 = i;
        for(j=2;j<=num2; j++)
        /*判断2～num2之间分子、分母是否有公约数，如果有j满足条件，则结束循环，说明此时的分数不是最简分数*/
            if(num1%j==0 && num2%j==0)
                break;
        if(j>num2)
        /*若j>num2说明2～num2之间没有分子、分母的公约数，分数为最简分数*/
        {
            printf("%2d/40", i);
            n++;
            if(n%8 == 0)
                printf("\n");
        }
    }
   
    return 0;
}

它们的运行结果都是：

The fraction serials with demominator 40 is:
 1/40   3/40   7/40   9/40  11/40  13/40  17/40  19/40 
21/40  23/40  27/40  29/40  31/40  33/40  37/40  39/40