C语言递归解决分鱼问题

问题描述

A、B、C、D、E这5个人合伙夜间捕鱼，凌晨时都已经疲惫不堪，于是各自在河边的树丛中找地方睡着了。第二天日上三竿时，A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了；B第二个醒来，但不知道A已经拿走了一份鱼，于是他将剩下的鱼平分为5份，扔掉多余的一条，然后只拿走了自己的一份；接着C、D、E依次醒来，也都按同样的办法分鱼。问这5人至少合伙捕到多少条鱼？每个人醒来后所看到的鱼是多少条？

问题分析

假设5个人合伙捕了x条鱼，则“A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了”之后，还剩下4(x-1)/5条鱼。

这里实际包含了一个隐含条件：假设Xn为第n(n=1、2、3、4、5)个人分鱼前鱼的总数，则(Xn-1)/5必须为正整数，否则不合题意。（Xn-1)/5为正整数即(X〜l)mod5=0必须成立。

又根据题意，应该有下面等式：
X4=4(X5-1)/5
X3=4(X4-1)/5
X2-4(X3-1)/5
X1=4(X2-1)/5

则一旦给定X5，就可以依次推算出X4、X3、X2和X1的值。要保证X5、X4、X3、X2和X1都满足条件(Xn-1)mod5=0，此时的X5则为5个人合伙捕到的鱼的总条数。显然，5个人合伙可能捕到的鱼的条数并不唯一，但题目中强调了 “至少”合伙捕到的鱼，此时题目的答案唯一。该问题可使用递归的方法求解。

程序设计

在main()函数中构建一个不定次数的do-while循环。定义变量x表示5个人合伙可能捕到的鱼的条数，可以取x的最小值为6，让x值逐渐增加，x每一次取值，都增加5，直到找到一个符合问题要求的答案。由于题目中问“这5人至少合伙捕到多少条鱼”，而我找到的第一个x值就是5个人至少捕到的鱼的总条数。

通过这个循环，就可以对每一个的可能情况进行检查。当然，是通过调用分鱼的递归函数来进行检查的。

分鱼的递归函数如下：
fish()函数中包含了两个参数：n和x。n表示参与分鱼的人数，x表示n个人分鱼前鱼的总条数。这两个参数都是由main()函数中传递进来的。

根据前面的分析，当n=5时，(x-1)mod5==0必须成立，否则该x值不是满足题意的值，退出fish()函数，返回到main()函数，main()函数中再传递新的x值到fish中进行检验。如果(x-1)mod5==0条件成立，则要判断n=4时，(x-1)mod5=0条件是否成立，需要注意的是，此时的形参x是4个人分鱼前鱼的总条数，即f(5,x)递归调用f(4,(x-1)/5*4)。这样依次进行下去，直到n=1时，(x-1)mod5==0条件仍成立，则说明开始从main()函数中传递进来的x值是符合题意要求的一个值，可以逐层从递归函数中返回，每次返回值都为1，直至返回到main()函数。

下面是完整的代码：

#include<stdio.h>
/*分鱼递归函数*/
int fish(int n, int x)
{
    if((x-1)%5 == 0)
    {
        if(n == 1)
            return 1;  /*递归出口*/
        else
            return fish(n-1, (x-1)/5*4);  /*递归调用*/
    }
    return 0;  /*x不是符合题意的解，返回0*/
}
int main()
{
    int i=0, flag=0, x;
    do
    {
        i=i+1;
        x=i*5+1;  /*x最小值为6，以后每次增加5*/
        if(fish(5, x))  /*将x传入分鱼递归函数进行检验*/
        {
            flag=1;  /*找到第一个符合题意的x则置标志位为1*/
            printf("五个人合伙捕到的鱼总数为%d\n", x);
        }
    }
    while(!flag);  /*未找到符合题意的x，继续循环，否则退出循环*/
    return 0;
}

运行结果：
五个人合伙捕到的鱼总数为3121

知识点补充

本题还可以使用“递推法”来求解。下面先对递推法做下简介。

递推法：利用问题本身所具有的递推关系来求解。所谓的递推关系指的是：当得到问题规模为n-1的解后，可以得出问题规模为n的解。因此，从规模为0或1的解可以依次递推出任意规模的解。

下面是完整的代码：

#include<stdio.h>
/*分鱼递归函数*/
int fish(int n, int x)
{
    if((x-1)%5 == 0)
    {
        if(n==1)
            return 1;  /*递归出口*/
        else
            return fish(n-1, (x-1)/5*4);  /*递归调用*/
    }
    return 0;  /*x不是符合题意的解，返回0*/
}
int main()
{
    int fish[6], i;
    fish[5]=6;
    while(1)
    {
        for(i=4; i>0; i--)
        {
            if(fish[i+1]%4!=0)
                break;
            fish[i]=fish[i+1]*5/4+1;
            if(fish[i]%5!=1)
                break;
        }
        if(i == 0)
            break;
        fish[5]+=5;
    }
    for(i=1; i<=5; i++)
        printf("fish[%d]=%d\n", i, fish[i]);
    return 0;
}

运行结果：
fish[1]=3121
fish[2]=2496
fish[3]=1996
fish[4]=1596
fish[5]=1276