4.2 串的定长顺序存储及基本运算

因为串是数据元素类型为字符型的线性表，所以线性表的存储方式仍适用于串，也因为字符的特殊性和字符串经常作为一个整体来处理的特点，串在存储时还有一些与一般线性表不同之处。

4.2.1 串的定长顺序存储

类似于顺序表，用一组地址连续的存储单元存储串值中的字符序列，所谓定长是指按预定义的大小，为每一个串变量分配一个固定长度的存储区，如：
#define MAXSIZE 256
char s[MAXSIZE];
则串的最大长度不能超过256。

如何标识实际长度？

1. 类似顺序表，用一个指针来指向最后一个字符，这样表示的串描述如下：
typedef struct
{ char data[MAXSIZE];
int curlen;
} SeqString;
定义一个串变量：SeqString s。这种存储方式可以直接得到串的长度：s.curlen+1。如图4.1 所示。 2. 在串尾存储一个不会在串中出现的特殊字符作为串的终结符，以此表示串的结尾。比如C 语言中处理定长串的方法就是这样的，它是用’\0’来表示串的结束。这种存储方法不能直接得到串的长度，是用判断当前字符是否是’\0’来确定串是否结束，从而求得串的长度。 3. 设定长串存储空间：char s[MAXSIZE+1]; 用s[0]存放串的实际长度，串值存放在s[1]~s[MAXSIZE]，字符的序号和存储位置一致，应用更为方便。

4.2.2 定长顺序串的基本运算

本小节主要讨论定长串联接、求子串、串比较算法，顺序串的插入和删除等运算基本与顺序表相同，在此不在赘述。串定位在下一小节讨论，设串结束用＇\0＇来标识。

1．串联接：把两个串s1 和s2 首尾连接成一个新串s ，即：s<=s1+s2。
int StrConcat1(s1,s2,s)
char s1[],s2[],s[];
{ int i=0 , j, len1, len2;
len1= StrLength(s1); len2= StrLength(s2)
if (len1+ len2>MAXSIZE-1) return 0 ; /* s 长度不够*/
j=0;
while(s1[j]!=’\0’) { s[i]=s1[j];i++; j++; }
j=0;
while(s2[j]!=’\0’) { s[i]=s2[j];i++; j++; }
s[i]=’\0’; return 1;
}
算法4.1

２．求子串
int StrSub (char *t, char *s, int i, int len)
/* 用t 返回串s 中第个i 字符开始的长度为len 的子串1≤i≤串长*/
{ int slen;
slen=StrLength(s);
if ( i<1 || i>slen || len<0 || len>slen-i+1)
{ printf(＂参数不对＂); return 0; }
for (j=0; j<len; j++)
t[j]=s[i+j-1];
t[j]=’\0’;
return 1;
}
算法4.2

３．串比较
int StrComp(char *s1, char *s2)
{ int i=0;
while (s1[i]==s2[i] && s1[i]!=’\0’) i++;
return (s1[i]-s2[i]);
}
算法4.3

4.2.3 模式匹配

串的模式匹配即子串定位是一种重要的串运算。设s 和t 是给定的两个串，在主串s中找到等于子串t 的过程称为模式匹配，如果在s 中找到等于t 的子串，则称匹配成功，函数返回t 在s 中的首次出现的存储位置(或序号)，否则匹配失败，返回-1。t 也称为模式。为了运算方便，设字符串的长度存放在0 号单元，串值从1 号单元存放，这样字符序号与存储位置一致。

１．简单的模式匹配算法
算法思想如下：首先将s1 与t1 进行比较，若不同，就将s2 与t1 进行比较，...，直到s的某一个字符si 和t1 相同，再将它们之后的字符进行比较，若也相同，则如此继续往下比较，当s 的某一个字符si 与t 的字符tj 不同时，则s 返回到本趟开始字符的下一个字符，即si-j+2，t 返回到t1，继续开始下一趟的比较，重复上述过程。若t 中的字符全部比完，则说明本趟匹配成功，本趟的起始位置是i-j+1 或i-t[0]，否则，匹配失败。设主串s=＂ababcabcacbab＂，模式t=＂abcac＂，匹配过程如图4.3 所示。 依据这个思想，算法描述如下:
int StrIndex_BF (char *s,char *t)
/*从串s 的第一个字符开始找首次与串t 相等的子串*/
{ int i=1,j=1;
while (i<=s[0] && j<=t[0] ) /*都没遇到结束符*/
if (s[i]==t[j])
{ i++;j++; } /*继续*/
else
{i=i-j+2; j=1; } /*回溯*/
if (j>t[0]) return (i-t[0]); /*匹配成功，返回存储位置*/
else return –1;
}
算法4.4

该算法简称为BF 算法。下面分析它的时间复杂度，设串s 长度为n，串t 长度为m。匹配成功的情况下，考虑两种极端情况：在最好情况下，每趟不成功的匹配都发生在第一对字符比较时：
例如：s=＂aaaaaaaaaabc＂
t=＂bc＂
设匹配成功发生在si 处，则字符比较次数在前面i-1 趟匹配中共比较了i-1 次，第i 趟成功的匹配共比较了m 次，所以总共比较了i-1+m 次，所有匹配成功的可能共有n-m+1种，设从si 开始与t 串匹配成功的概率为pi，在等概率情况下pi=1/(n-m+1)，因此最好情况下平均比较的次数是： 即最好情况下的时间复杂度是O(n+m)。在最坏情况下，每趟不成功的匹配都发生在t 的最后一个字符：
例如：s=＂aaaaaaaaaaab＂
t=＂aaab＂
设匹配成功发生在si 处，则在前面i-1 趟匹配中共比较了(i-1)*m 次，第i 趟成功的匹配共比较了m 次，所以总共比较了i*m 次，因此最坏好情况下平均比较的次数是： 即最坏情况下的时间复杂度是O(n*m)。

上述算法中匹配是从s 串的第一个字符开始的，有时算法要求从指定位置开始，这时算法的参数表中要加一个位置参数pos：StrIndex(shar *s,int pos,char *t)，比较的初始位置定位在pos 处。算法4.4 是pos=1 的情况。

２．改进后的模式匹配算法
BF 算法简单但效率较低，一种对BF 算法做了很大改进的模式匹配算法是克努特(Knuth)，莫里斯(Morris)和普拉特(Pratt)同时设计的，简称KMP 算法。

(1) KMP 算法的思想
分析算法4.4 的执行过程, 造成BF 算法速度慢的原因是回溯，即在某趟的匹配过程失败后，对于s 串要回到本趟开始字符的下一个字符，t 串要回到第一个字符。而这些回溯并不是必要的。如图4.3 所示的匹配过程，在第三趟匹配过程中，s3 ~ s6 和t1~ t4 是匹配成功的，s7≠t5 匹配失败，因此有了第四趟，其实这一趟是不必要的：由图可看出，因为在第三趟中有s4=t2，而t 1≠t2，肯定有t1≠s4 。同理第五趟也是没有必要的，所以从第三趟之后可以直接到第六趟，进一步分析第六趟中的第一对字符s 6 和t1 的比较也是多余的，因为第三趟中已经比过了s6 和t4，并且s6=t4，而t 1=t4，必有s 6=t1，因此第六趟的比较可以从第二对字符s7 和t2 开始进行，这就是说，第三趟匹配失败后，指针i 不动，而是将模式串t向右“滑动”，用t2 “对准” s 7 继续进行，依此类推。这样的处理方法指针i 是无回溯的。

综上所述，希望某趟在si 和tj 匹配失败后，指针i 不回溯，模式t 向右“滑动”至某个位置上，使得tk 对准s i 继续向右进行。显然，现在问题的关键是串t“滑动”到哪个位置上？不妨设位置为k，即si 和tj 匹配失败后，指针i 不动，模式t 向右“滑动”，使tk 和si对准继续向右进行比较，要满足这一假设，就要有如下关系成立： (4.1)式左边是tk 前面的k-1 个字符，右边是si 前面的k-1 个字符。而本趟匹配失败是在si 和tj 之处，已经得到的部分匹配结果是： 因为k<j，所以有： (4.3)式左边是tj 前面的k-1 个字符，右边是si 前面的k-1 个字符，通过(4.1)和(4.3)得到关系：
结论：某趟在si 和tj 匹配失败后，如果模式串中有满足关系(4)的子串存在，即：模式中的前k-1 个字符与模式中tj 字符前面的k-1 个字符相等时，模式t 就可以向右“滑动”至使tk 和si 对准，继续向右进行比较即可。

（2）next 函数
模式中的每一个tj 都对应一个k 值，由(4.4)式可知，这个k 值仅依赖与模式t 本身字符序列的构成，而与主串s 无关。我们用next[j]表示tj 对应的k 值，根据以上分析，next函数有如下性质：
① next[j]是一个整数，且0≤next[j]<j
② 为了使t 的右移不丢失任何匹配成功的可能，当存在多个满足(4.4)式的k 值时，应取最大的，这样向右“滑动”的距离最短，“滑动”的字符为j-next[j]个。
③ 如果在tj 前不存在满足(4.4)式的子串，此时若t1≠tj，则k=1; 若t1=tj，则k=0; 这时“滑动”的最远，为j-1 个字符即用t1 和sj+1 继续比较。

因此，next 函数定义如下：


(3) KMP 算法
在求得模式的next 函数之后，匹配可如下进行：假设以指针i 和j 分别指示主串和模式中的比较字符，令i 的初值为pos，j 的初值为1。若在匹配过程中si≠tj，则i 和j 分别增１，若si≠tj 匹配失败后，则i 不变，j 退到next[j]位置再比较，若相等，则指针各自增１，否则j 再退到下一个next 值的位置，依此类推。直至下列两种情况：一种是j 退到某个next值时字符比较相等，则i 和j 分别增１继续进行匹配; 另一种是j 退到值为零（即模式的第一个字符失配），则此时i 和j 也要分别增１，表明从主串的下一个字符起和模式重新开始匹配。

设主串s=＂acabaabaabcacaabc＂，子串t=＂abaabcac＂，图4.4 是一个利用next 函数进行匹配的过程示意图。在假设已有next 函数情况下，KMP 算法如下：
int StrIndex_KMP(char *s,char *t,int pos)
/*从串s 的第pos 个字符开始找首次与串t 相等的子串*/
{ int i=pos,j=1,slen,tlen;
while (i<=s[0] && j<=t[0] ) /*都没遇到结束符*/
if (j==0||s[i]==t[j]) { i++; j++; }
else j=next[j]; /*回溯*/
if (j>t[0]) return i-t[0]; /*匹配成功，返回存储位置*/
else return –1;
}
算法4.5
(4)如何求next 函数
由以上讨论知，next 函数值仅取决于模式本身而和主串无关。我们可以从分析next 函数的定义出发用递推的方法求得next 函数值。由定义知：
next[1]=0 (4.5)
设next[j]=k，即有： next[j+1]=? 可能有两种情况：

第一种情况：若tk ＝tj 则表明在模式串中 这就是说next[j+1]=k+1，即 第二种情况：若tk ≠tj 则表明在模式串中 此时可把求next 函数值的问题看成是一个模式匹配问题，整个模式串既是主串又是模式，而当前在匹配的过程中，已有(4.6)式成立，则当tk ≠tj 时应将模式向右滑动，使得第next[k]个字符和“主串”中的第j 个字符相比较。若next[k]=k′，且t k′＝tj，则说明在主串中第j+1 个字符之前存在一个最大长度为k′的子串，使得
因此： next[j+1]=next[k]+1 (4.11)
同理若t k′ ≠tj，则将模式继续向右滑动至使第next[k′]个字符和tj 对齐，依此类推，直至tj 和模式中的某个字符匹配成功或者不存在任何k′(1< k′<k <…<j)满足(4.10)，此时若t1≠tj+1 ， 则有：next[j+1]=1 (4.12)
否则若t1=tj+1 ，则有：next[j+1]=0 (4.13)

综上所述，求next 函数值过程的算法如下：
void GetNext(char *t,int next[ ])
/*求模式t 的next 值并寸入next 数组中*/
｛ int i=1,j=0;
next[1]=0;
while (i<t[0])
{ while (j>0&&t[i]!=t[j]) j=next[j];
i++; j++;
if (t[i]==t[j]) next[i]=next[j];
else next[i]=j;
}
}
算法4.6

算法4.6 的时间复杂度是O(m)；所以算法4.5 的时间复杂度是O(n*m)，但在一般情况下，实际的执行时间是O(n+m)。当然KMP 算法和简单的模式匹配算法相比，增加了很大难度，我们主要学习该算法的设计技巧。