平衡二叉树(AVL树)及C语言实现
上一节介绍如何使用二叉排序树实现动态查找表,本节介绍另外一种实现方式——平衡二叉树。
平衡二叉树,又称为 AVL 树。实际上就是遵循以下两个特点的二叉树:
图 1 平衡与不平衡的二叉树及结点的平衡因子
平衡因子:每个结点都有其各自的平衡因子,表示的就是其左子树深度同右子树深度的差。平衡二叉树中各结点平衡因子的取值只可能是:0、1 和 -1。
例如,使用上一节的算法在对查找表
图 2 平衡二叉树
当继续插入 37 时,生成的二叉排序树如图 3(a),平衡二叉树的结构被破坏,此时只需要对二叉排序树做“旋转”操作(如图 3(b)),即整棵树以结点 24 为根结点,二叉排序树的结构没有破坏,同时将该树转化为了平衡二叉树:
图 3 二叉排序树变为平衡二叉树的过程
图 4 二叉排序树转化为平衡二叉树
做完以上操作,即完成了由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。
当平衡二叉树由于新增数据元素导致整棵树的平衡遭到破坏时,就需要根据实际情况做出适当的调整,假设距离插入结点最近的“不平衡因子”为 a。则调整的规律可归纳为以下 4 种情况:
平衡二叉树,又称为 AVL 树。实际上就是遵循以下两个特点的二叉树:
- 每棵子树中的左子树和右子树的深度差不能超过 1;
- 二叉树中每棵子树都要求是平衡二叉树;
其实就是在二叉树的基础上,若树中每棵子树都满足其左子树和右子树的深度差都不超过 1,则这棵二叉树就是平衡二叉树。
图 1 平衡与不平衡的二叉树及结点的平衡因子
如图 1 所示,其中 (a) 的两棵二叉树中由于各个结点的平衡因子数的绝对值都不超过 1,所以 (a) 中两棵二叉树都是平衡二叉树;而 (b) 的两棵二叉树中有结点的平衡因子数的绝对值超过 1,所以都不是平衡二叉树。
二叉排序树转化为平衡二叉树
为了排除动态查找表中不同的数据排列方式对算法性能的影响,需要考虑在不会破坏二叉排序树本身结构的前提下,将二叉排序树转化为平衡二叉树。例如,使用上一节的算法在对查找表
{13,24,37,90,53}
构建二叉排序树时,当插入 13 和 24 时,二叉排序树此时还是平衡二叉树:
图 2 平衡二叉树
图 3 二叉排序树变为平衡二叉树的过程
继续插入 90 和 53 后,二叉排序树如图 4(a)所示,导致二叉树中结点 24 和 37 的平衡因子的绝对值大于 1 ,整棵树的平衡被打破。此时,需要做两步操作:当二叉排序树的平衡性被打破时,就如同扁担的两头出现了一头重一头轻的现象,如图3(a)所示,此时只需要改变扁担的支撑点(树的树根),就能使其重新归为平衡。实际上图 3 中的 (b) 是对(a) 的二叉树做了一个向左逆时针旋转的操作。
- 如图 4(b) 所示,将结点 53 和 90 整体向右顺时针旋转,使本该以 90 为根结点的子树改为以结点 53 为根结点;
- 如图 4(c) 所示,将以结点 37 为根结点的子树向左逆时针旋转,使本该以 37 为根结点的子树,改为以结点 53 为根结点;
图 4 二叉排序树转化为平衡二叉树
做完以上操作,即完成了由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。
当平衡二叉树由于新增数据元素导致整棵树的平衡遭到破坏时,就需要根据实际情况做出适当的调整,假设距离插入结点最近的“不平衡因子”为 a。则调整的规律可归纳为以下 4 种情况:
-
单向右旋平衡处理:若由于结点 a 的左子树为根结点的左子树上插入结点,导致结点 a 的平衡因子由 1 增至 2,致使以 a 为根结点的子树失去平衡,则只需进行一次向右的顺时针旋转,如下图这种情况:
图 5 单向右旋 -
单向左旋平衡处理:如果由于结点 a 的右子树为根结点的右子树上插入结点,导致结点 a 的平衡因子由 -1变为 -2,则以 a 为根结点的子树需要进行一次向左的逆时针旋转,如下图这种情况:
图 6 单向左旋
-
双向旋转(先左后右)平衡处理:如果由于结点 a 的左子树为根结点的右子树上插入结点,导致结点 a 平衡因子由 1 增至 2,致使以 a 为根结点的子树失去平衡,则需要进行两次旋转操作,如下图这种情况:
图 7 双向旋转(先左后右)
注意:图 7 中插入结点也可以为结点 C 的右孩子,则(b)中插入结点的位置还是结点 C 右孩子,(c)中插入结点的位置为结点 A 的左孩子。 -
双向旋转(先右后左)平衡处理:如果由于结点 a 的右子树为根结点的左子树上插入结点,导致结点 a 平衡因子由 -1 变为 -2,致使以 a 为根结点的子树失去平衡,则需要进行两次旋转(先右旋后左旋)操作,如下图这种情况:
图 8 双向旋转(先右后左)
注意:图 8 中插入结点也可以为结点 C 的右孩子,则(b)中插入结点的位置改为结点 B 的左孩子,(c)中插入结点的位置为结点 B 的左孩子。
{13,24,37,90,53}
构建平衡二叉树时,由于符合第 4 条的规律,所以进行先右旋后左旋的处理,最终由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。
构建平衡二叉树的代码实现
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> //分别定义平衡因子数 #define LH +1 #define EH 0 #define RH -1 typedef int ElemType; typedef enum {false,true} bool; //定义二叉排序树 typedef struct BSTNode{ ElemType data; int bf;//balance flag struct BSTNode *lchild,*rchild; }*BSTree,BSTNode; //对以 p 为根结点的二叉树做右旋处理,令 p 指针指向新的树根结点 void R_Rotate(BSTree* p) { //借助文章中的图 5 所示加以理解,其中结点 A 为 p 指针指向的根结点 BSTree lc = (*p)->lchild; (*p)->lchild = lc->rchild; lc->rchild = *p; *p = lc; } ////对以 p 为根结点的二叉树做左旋处理,令 p 指针指向新的树根结点 void L_Rotate(BSTree* p) { //借助文章中的图 6 所示加以理解,其中结点 A 为 p 指针指向的根结点 BSTree rc = (*p)->rchild; (*p)->rchild = rc->lchild; rc->lchild = *p; *p = rc; } //对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理,令指针 T 指向新的根结点 void LeftBalance(BSTree* T) { BSTree lc,rd; lc = (*T)->lchild; //查看以 T 的左子树为根结点的子树,失去平衡的原因,如果 bf 值为 1 ,则说明添加在左子树为根结点的左子树中,需要对其进行右旋处理;反之,如果 bf 值为 -1,说明添加在以左子树为根结点的右子树中,需要进行双向先左旋后右旋的处理 switch (lc->bf) { case LH: (*T)->bf = lc->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH: rd = lc->rchild; switch(rd->bf) { case LH: (*T)->bf = RH; lc->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = lc->bf = EH; break; case RH: (*T)->bf = EH; lc->bf = LH; break; } rd->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); R_Rotate(T); break; } } //右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似 void RightBalance(BSTree* T) { BSTree lc,rd; lc= (*T)->rchild; switch (lc->bf) { case RH: (*T)->bf = lc->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: rd = lc->lchild; switch(rd->bf) { case LH: (*T)->bf = EH; lc->bf = RH; break; case EH: (*T)->bf = lc->bf = EH; break; case RH: (*T)->bf = EH; lc->bf = LH; break; } rd->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); L_Rotate(T); break; } } int InsertAVL(BSTree* T,ElemType e,bool* taller) { //如果本身为空树,则直接添加 e 为根结点 if ((*T)==NULL) { (*T)=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode)); (*T)->bf = EH; (*T)->data = e; (*T)->lchild = NULL; (*T)->rchild = NULL; *taller=true; } //如果二叉排序树中已经存在 e ,则不做任何处理 else if (e == (*T)->data) { *taller = false; return 0; } //如果 e 小于结点 T 的数据域,则插入到 T 的左子树中 else if (e < (*T)->data) { //如果插入过程,不会影响树本身的平衡,则直接结束 if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) return 0; //判断插入过程是否会导致整棵树的深度 +1 if(*taller) { //判断根结点 T 的平衡因子是多少,由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡,所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时,需要进行左子树的平衡处理,否则更新树中各结点的平衡因子数 switch ((*T)->bf) { case LH: LeftBalance(T); *taller = false; break; case EH: (*T)->bf = LH; *taller = true; break; case RH: (*T)->bf = EH; *taller = false; break; } } } //同样,当 e>T->data 时,需要插入到以 T 为根结点的树的右子树中,同样需要做和以上同样的操作 else { if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) return 0; if (*taller) { switch ((*T)->bf) { case LH: (*T)->bf = EH; *taller = false; break; case EH: (*T)->bf = RH; *taller = true; break; case RH: RightBalance(T); *taller = false; break; } } } return 1; } //判断现有平衡二叉树中是否已经具有数据域为 e 的结点 bool FindNode(BSTree root,ElemType e,BSTree* pos) { BSTree pt = root; (*pos) = NULL; while(pt) { if (pt->data == e) { //找到节点,pos指向该节点并返回true (*pos) = pt; return true; } else if (pt->data>e) { pt = pt->lchild; } else pt = pt->rchild; } return false; } //中序遍历平衡二叉树 void InorderTra(BSTree root) { if(root->lchild) InorderTra(root->lchild); printf("%d ",root->data); if(root->rchild) InorderTra(root->rchild); } int main() { int i,nArr[] = {1,23,45,34,98,9,4,35,23}; BSTree root=NULL,pos; bool taller; //用 nArr查找表构建平衡二叉树(不断插入数据的过程) for (i=0;i<9;i++) { InsertAVL(&root,nArr[i],&taller); } //中序遍历输出 InorderTra(root); //判断平衡二叉树中是否含有数据域为 103 的数据 if(FindNode(root,103,&pos)) printf("\n%d\n",pos->data); else printf("\nNot find this Node\n"); return 0; }运行结果
1 4 9 23 34 35 45 98
Not find this Node
Not find this Node
总结
使用平衡二叉树进行查找操作的时间复杂度为O(logn)
。在学习本节内容时,紧贴本节图示比较容易理解。所有教程
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